如圖，在棱長為4的正方體ABCD―A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1 = 4CP.

（1）求直線AP與平面BCC1B1所成角的大��；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（2）設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；

（3）求點P到平面ABD1的距離.

（1）解：∵AB⊥平面BCC1B1，

∴AP與平面BCC1B1所成的角為∠APB.

如圖建立空間直角坐標系，坐標原點為D.

∵CC1 = 4CP，CC1 = 4，

∴CP = 1，A (4, 0, 0)，P (0, 4, 1)，B (4, 4, 0).

∴.

∵,

∴cos∠.

∴直線AP與平面BCC1B1所成的角為arccos.

（2）證明：連結(jié)D1O，由（1）有D1 (0, 0, 4)，O (2, 2, 4)，

∴.     ∴.

∵平面D1AP的斜線D1O在這個平面內(nèi)的射影是D1H，∴D1H⊥AP.

（3）解：連結(jié)BC1，在平面BCC1B1中，過點P作PQ⊥BC1于點Q.

∵AB⊥平面BCC1B1，平面BCC1B1，∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是點P到平面ABD1的距離.

在Rt△C1PQ中，∠C1QP = 90°，∠PC1Q = 45°，PC1 = 3，

∴，即點P到平面ABD­1的距離為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•溫州一模）如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長為4，C在平面α內(nèi)，B是直線l上的動點，則當O到AD的距離為最大時，正四面體在平面α上的射影面積為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，點P從B點出發(fā)，在正方形BCC1B1的邊上按逆針方向按如下規(guī)律運動：設(shè)第n次運動的路程為an，且an=cos
nπ2
+2，第n次運動后P點所在位置為Pn，回到B點后不再運動．
（1）求二面角Pi-AC-B的余弦值；
（2）是否存在正整數(shù)i、j，使得直線PiPj與平面ACD1平行？若存在，找出所有符合條件的PiPj，并給出證明；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為棱BC，B1C1的中點．
（1）求證：直線A1D1∥平面ADC1．
（2）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（3）設(shè)底面邊長為2，側(cè)棱長為4，求二面角C1-AD-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1敘述正確的是
②④⑤
②④⑤
．
①任取四個頂點，共面的情況有8種；
②任取四個頂點順次連接總共可構(gòu)成10個正三棱錐；
③任取六個表面中的兩個，兩面平行的情況有5種；
④如圖把正方體展開，正方體原下底面A1B1C1D1與標號4對應；
⑤在原正方體中任取兩個頂點，這兩點間的距離在區(qū)間(
10
2
，
3
)內(nèi)的情況有4種．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省溫州市高三第一次適應性測試理科數(shù)學 題型：選擇題

如圖，直線平面，垂足為，正四面體的棱長為4，在平面內(nèi)，

是直線上的動點，則當到的距離為最大時，正四面體在平面上的射影面

積為（    ）

    A．          B．   C．      D．

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案