Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象關(guān)于點（ ，0）對稱，過點（1，t）僅能作曲線y=f（x）的一條切線，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A.（﹣3，﹣2）
B.[﹣3，﹣2]
C.（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象關(guān)于點（ ，0）對稱， 設(shè)（x，y）為y=f（x）圖象上的點，其對稱點為（1﹣x，﹣y），且在函數(shù)y=x3﹣3x2+2的圖象上，
可得﹣y=（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2，即為y=f（x）=（x﹣1）3+3（1﹣x）2﹣2，
設(shè)切點為（m，n），則n=（m﹣1）3+3（1﹣m）2﹣2，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3（x﹣1）2+6（x﹣1）=3（x2﹣1），
可得切線的方程為y﹣n=3（m2﹣1）（x﹣m），
代入點（1，t），可得t﹣n=3（m2﹣1）（1﹣m），
化簡可得t+3=3m2﹣2m3 ，
由g（m）=3m2﹣2m3 ，
g′（m）=6m﹣6m2=6m（1﹣m），
當(dāng)0＜m＜1時，g′（m）＞0，g（m）遞增；當(dāng)m＜0或m＞1時，g′（m）＜0，g（m）遞減．
則g（m）在m=0處取得極小值0，在m=1處取得極大值1，
由過點（1，t）僅能作曲線y=f（x）的一條切線，
可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，
則t+3＞1或t+3＜0，
解得t＞﹣2或t＜﹣3．
故選：C．