Question

有甲、乙、丙、丁四名網(wǎng)球運(yùn)動員，通過對過去戰(zhàn)績的統(tǒng)計，在一場比賽中，甲對乙、丙、丁取勝的概率分別為0.6，0.8，0.9
（Ⅰ）若甲和乙之間進(jìn)行三場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；
（Ⅱ）若四名運(yùn)動員每兩人之間進(jìn)行一場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；
（Ⅲ）若四名運(yùn)動員每兩人之間進(jìn)行一場比賽，設(shè)甲獲勝場次為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗，試驗發(fā)生3次，每一次試驗甲對乙取勝的概率是0.6，
∴甲和乙之間進(jìn)行三場比賽，甲恰好勝兩場的概率為P₁=C₃²×0.6²×0.4=0.432．
（Ⅱ）記“甲勝乙”，“甲勝丙”，“甲勝丁”三個事件分別為A，B，C，
則P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9．
則四名運(yùn)動員每兩人之間進(jìn)行一場比賽，
甲恰好勝兩場包括三種結(jié)果，這三種結(jié)果是互斥的，而在每一種情況中發(fā)生的事件是相互獨(dú)立的，
∴=
P（A）?P（B）?[1-P（C）]+P（A）?[1-P（B）]?P（C）+[1-P（A）]?P（B）?P（C）
=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9
=0.444
（Ⅲ）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=0.4×0.2×0.1=0.008；
P（ξ=1）=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116；
由（Ⅱ）得P（ξ=2）=0.444；P（ξ=3）=0.6×0.8×0.9=0.432．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為

Eξ=0×0.008+1×0.116+2×0.444+3×0.432=2.3．
（Ⅰ）本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗，試驗發(fā)生3次，每一次試驗甲對乙取勝的概率是0.6，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式，得到甲和乙之間進(jìn)行三場比賽，甲恰好勝兩場的概率．
（Ⅱ）甲與每一位進(jìn)行一場比賽，甲進(jìn)行三場比賽，甲恰好勝兩場包括三種結(jié)果，這三種結(jié)果是互斥的，而在每一種情況中發(fā)生的事件是相互獨(dú)立的，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（III）四名運(yùn)動員每兩人之間進(jìn)行一場比賽，設(shè)甲獲勝場次為ξ，由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3．
根據(jù)變量對應(yīng)的事件寫出概率，寫出分布列和期望．
點(diǎn)評：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．