Question

有甲、乙、丙、丁四名網(wǎng)球運動員，通過對過去戰(zhàn)績的統(tǒng)計，在一場比賽中，甲對乙、丙、丁取勝的概率分別為0.6，0.8，0.9．
（Ⅰ）若甲和乙之間進行三場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；
（Ⅱ）若四名運動員每兩人之間進行一場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；
（Ⅲ）若四名運動員每兩人之間進行一場比賽，設(shè)甲獲勝場次為ξ，求隨機變量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題符合獨立重復(fù)試驗，試驗發(fā)生3次，每一次試驗甲對乙取勝的概率是0.6，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式，得到甲和乙之間進行三場比賽，甲恰好勝兩場的概率．
（Ⅱ）甲與每一位進行一場比賽，甲進行三場比賽，甲恰好勝兩場包括三種結(jié)果，這三種結(jié)果是互斥的，而在每一種情況中發(fā)生的事件是相互獨立的，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（III）四名運動員每兩人之間進行一場比賽，設(shè)甲獲勝場次為ξ，由題意知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3．
根據(jù)變量對應(yīng)的事件寫出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，本題符合獨立重復(fù)試驗，試驗發(fā)生3次，每一次試驗甲對乙取勝的概率是0.6，
∴甲和乙之間進行三場比賽，甲恰好勝兩場的概率為P₁=C₃²×0.6²×0.4=0.432．
（Ⅱ）記“甲勝乙”，“甲勝丙”，“甲勝丁”三個事件分別為A，B，C，
則P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9．
則四名運動員每兩人之間進行一場比賽，
甲恰好勝兩場包括三種結(jié)果，這三種結(jié)果是互斥的，而在每一種情況中發(fā)生的事件是相互獨立的，
∴P(A?B?

.

C

+A?

.

B

?C+

.

A

?B?C)=
P（A）?P（B）?[1-P（C）]+P（A）?[1-P（B）]?P（C）+[1-P（A）]?P（B）?P（C）
=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9
=0.444
（Ⅲ）隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=0.4×0.2×0.1=0.008；
P（ξ=1）=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116；
由（Ⅱ）得P（ξ=2）=0.444；P（ξ=3）=0.6×0.8×0.9=0.432．
∴隨機變量ξ的分布列為

Eξ=0×0.008+1×0.116+2×0.444+3×0.432=2.3．

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．