Question

正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為

15

，求這個(gè)正三棱錐的體積和側(cè)面積．

Answer 1

分析：在正三棱錐S-ABC中，設(shè)H為ABC的中心，連接SH，則SH為該正三棱錐的高，求出AE，AH，再求出SH，代入體積公式計(jì)算可得棱錐的體積；求出正三棱錐的高HE，利用勾股定理求得SH，代入側(cè)面積公式可求得棱錐的側(cè)面積．

解答：解：如圖，在正三棱錐S-ABC中，設(shè)H為ABC的中心，連接SH，
則SH為該正三棱錐的高．連接AH，延長(zhǎng)后交BC于E，
則E為BC的中點(diǎn)，且AH⊥BC．
由于△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，
∴AE=

3

2

×6=3

3

．
∴AH=

2

3

AE=2

3

．
在Rt△SHA中，SA=

15

，AH=2

3

．
∴SH=

SA2-AH2

=

15-12

=

3

．
S△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

×6×3

3

=9

3

．
∴VS-ABC=

1

3

×9

3

×

3

=9．
在正三棱錐S-ABC中，設(shè)H為ABC的中心，連接SH，則SH為該
正三棱錐的高，HE=

1

3

AE=

3

．
在Rt△SHE中，SE=

SH2+HE2

=

3+3

=

6

．S△SBC=

1

2

BC•SE=

1

2

×6×

6

=3

6

，
∴S_側(cè)=3S_△SBC=9

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的側(cè)面積與體積，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是利用位置關(guān)系求得相關(guān)的幾何量．