證明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).
證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=12-22=-3 右邊=-1×(2×1+1)=-3,∴左邊=右邊,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立. 則當(dāng)n=k+1時,左邊=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+[2(k+1)-1]2+[2(k+1)]2 。剑璳(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2 =(k+1)[2k+1-4(k+1)]=(k+1)(-2k-3) 。剑(k+1)[2(k+1)+1]=右邊, ∴當(dāng)n=k+1時,等式成立. 由(1)(2)可知對于任意正整數(shù)n,等式都成立. 思路分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時要注意等式兩邊的項數(shù)隨n怎樣變化,即由n=k到n=k+1時,左右兩邊各增添哪些項. |
可用數(shù)學(xué)歸納法來證明關(guān)于自然數(shù)n的恒等式,證明時兩步缺一不可,第一步必須驗證,證明n=k+1時,必須用假設(shè)n=k成立的結(jié)論證明. |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟南世紀(jì)英華實驗學(xué)校2011-2012學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:047
用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+32+42+…+n2=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)周報 數(shù)學(xué) 北師大課標(biāo)高二版(選修2-2) 2009-2010學(xué)年 第29期 總第185期 北師大課標(biāo) 題型:013
用數(shù)學(xué)歸納法證明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1),從n=k到n=k+1時左邊增加的項數(shù)是
1項
2項
3項
4項
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)周報 數(shù)學(xué) 人教課標(biāo)高二版(A選修1-2) 2009-2010學(xué)年 第31期 總第187期 人教課標(biāo)版(A選修1-2) 題型:047
通過計算可得下列等式:
22-12=2×1+1,
32-22=2×2+1,
42-32=2×3+1,
……
(n+1)2-n2=2×n+1,
將以上各式分別相加,得
(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,
即1+2+3+…+n=.
類比上述方法,請你證明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:學(xué)習(xí)周報 數(shù)學(xué) 北師大課標(biāo)高二版(選修1-2) 2009-2010學(xué)年 第32期 總第188期 北師大課標(biāo) 題型:044
由12=,12+22+12=,12+22+32+22+12=,…,問:可歸納出什么結(jié)論(不需要證明)?
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