Question

20．某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本．經(jīng)統(tǒng)計，得到關(guān)于產(chǎn)品重量的樣本頻率分布直方圖和樣本頻數(shù)分布表：

乙流水線 產(chǎn)品重量（單位：克）	頻數(shù)
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

已知產(chǎn)品的重量合格標準為：重量值落在（495，510]內(nèi)的產(chǎn)品為合格品；否則為不合格品．
（1）從甲流水線樣本的合格品中任意取2件，求重量值落在（505，510]的產(chǎn)品件數(shù)X的分布列；
（2）從乙流水線中任取2件產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計總體的思想，求其中合格品的件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望；
（3）從甲、乙流水線中各取2件產(chǎn)品，用ξ表示“甲流水線合格品數(shù)與乙流水線合格品數(shù)的差的絕對值”，并用A表示事件“關(guān)于x的一元二次方程2x²+2ξx+ξ=0沒有實數(shù)解”． 試根據(jù)樣本估計總體的思想，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）樣本頻率分布直方圖知，甲樣本中合格品數(shù)為12+18+6=36，其中重量值落在（505，510]的產(chǎn)品為6件．X的可能取值為0，1，2，利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}•{∁}_{30}^{2-k}}{{∁}_{30}^{2}}$（k=0，1，2）．即可得出分布列．
（2）由頻數(shù)分布表知，乙樣本中合格品數(shù)為8+14+8=30件，若從乙樣本中任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率P=$\frac{3}{4}$．根據(jù)樣本估計總體的思想，可估計從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率$\frac{3}{4}$．從乙流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗，可得合格品的件數(shù)Y～B$（2，\frac{3}{4}）$．
（3）由方程2x²+2ξx+ξ=0沒有實數(shù)解，得△＜0，解得ξ=1．記“從甲流水線中任取2件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為Z，“從乙流水線中任取2件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為Y，則ξ=|Z-Y|．Z與Y都有0，1，2三種可能的取值，事件A（即ξ=1）包含四種情況：$\left\{\begin{array}{l}{Z=0}\\{Y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{Z=1}\\{Y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{Z=1}\\{Y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{Z=2}\\{Y=1}\end{array}\right.$．進而得出．

解答 解：（1）樣本頻率分布直方圖知，甲樣本中合格品數(shù)為12+18+6=36，其中重量值落在（505，510]的產(chǎn)品為6件．X的可能取值為0，1，2，
且P（X=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}•{∁}_{30}^{2-k}}{{∁}_{30}^{2}}$（k=0，1，2）．P（X=0）=$\frac{29}{42}$，P（X=1）=$\frac{2}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{42}$．∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{29}{42}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{42}$

（2）由頻數(shù)分布表知，乙樣本中合格品數(shù)為8+14+8=30件，
∴若從乙樣本中任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率P=$\frac{3}{4}$．
根據(jù)樣本估計總體的思想，可估計從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率P=$\frac{3}{4}$．
∵從乙流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗，
∴合格品的件數(shù)Y～B$（2，\frac{3}{4}）$．
∴EY=2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
即合格品的件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望為$\frac{3}{2}$．
（3）由方程2x²+2ξx+ξ=0沒有實數(shù)解，得△=4ξ²-8ξ＜0，
解得0＜ξ＜2，∴ξ=1．
記“從甲流水線中任取2件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為Z，“從乙流水線中任取2件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為Y，則ξ=|Z-Y|．
∵Z與Y都有0，1，2三種可能的取值，
∴事件A（即ξ=1）包含四種情況：$\left\{\begin{array}{l}{Z=0}\\{Y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{Z=1}\\{Y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{Z=1}\\{Y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{Z=2}\\{Y=1}\end{array}\right.$．
由（2）知，從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率P=$\frac{3}{4}$．
仿（2）的做法，可知從甲流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率P=$\frac{9}{10}$．
∵從同一條流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，不同流水線上的取法之間也互不影響，∴P（ξ=1）=$（\frac{1}{10}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{9}{10}×\frac{1}{10}×（\frac{1}{4}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{9}{10}×\frac{1}{10}×（\frac{3}{4}）^{2}$+$（\frac{9}{10}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}×\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{21}{50}$．
所以事件A的概率P（A）=P（ξ=1）=$\frac{21}{50}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖、二項分布列及其概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．