已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(
a
2
，a+
1
2
)上存在極值，其中a＞0，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）設(shè)g(x)=xf(x)+bx-1+ln(2-x
)
 
 
(b＞0)，若g（x）在（0，1]上的最大值為
1
2
，求實數(shù)b的值．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的極值點，設(shè)為x0，則x0∈(
a
2
，a+
1
2
)，由此可得a的范圍；
（2）寫出g（x）的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于
1
2
，即可求得b值；
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=-
lnx
x2
，
令f′(x)=-
lnx
x2
=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=1處取極大值，
因為f（x）在區(qū)間(
a
2
，a+
1
2
)上存在極值，所以
a
2
＜1＜a+
1
2
，解得
1
2
＜a＜2，
所以實數(shù)a的取值范圍是（
1
2
，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，當(dāng)x∈（0，1]時，g′（x）=b+
2
x(2-x)
＞0，
所以g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
故g（x）在（0，1]上的最大值為g（1）=b，
因此b=
1
2
．
點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，準(zhǔn)確求導(dǎo)，熟知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值的關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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