Question

設(shè)直線l過點(diǎn)P（0，3），和橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A在B上方），試求的取值范圍________．

Answer 1

分析：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），這時(shí)=．當(dāng)直線l斜率為k時(shí)，直線l方程為y=kx+3，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），則向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），所以=，因?yàn)橹本�y=kx+3與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判別式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，所以k＞3或k＜-．由此入手能夠求出的范圍．
解答：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），這時(shí)=．
當(dāng)直線l斜率為k時(shí)，直線l方程為y=kx+3，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），則向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），
所以=，
因?yàn)橹本�y=kx+3與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)不同，
把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判別式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，
所以k＞3或k＜-，
設(shè)=λ，則x₁=λx₂，
因?yàn)閤₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以（1+λ）x₂═-，，（1）
λx₂²=，（2）
顯然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
綜上所述的范圍是[）．
故答案為：[）．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．