Question

如圖1，在直角梯形中，，，，
. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．
(I)求證：平面平面；
(II)求直線與平面所成角的正弦值；
(III)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

Answer 1

(I) 詳見解析； (II) ； (III) 存在點M滿足條件．

解析試題分析：(I)借助三角形中位線得到線線平行，進而得到面面平行；(II)建立空間直角坐標系，應用空間向量知識求線面角；(III) 記點為，證明即可．
試題解析：
（I）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上
所以平面，所以                        1分
因為在直角梯形中，，，
，
所以，，所以是等邊三角形，
所以是中點，                                        2分
所以                                             3分
同理可證
又
所以平面                                 5分
（II）在平面內過作的垂線
如圖建立空間直角坐標系，

則，，                     6分
因為，
設平面的法向量為
因為，
所以有，即，
令則 所以                               8分
                                10分
所以直線與平面所成角的正弦值為                       11分
(III)存在，事實上記點為即可                                       12分
因為在直角三角形中，，     &n