等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、 （如圖2）．

（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．

（1）詳見解析；（2）存在，且.

解析試題分析：（1）這是一個證明題，先用利用余弦定理在求出的長度，結(jié)合勾股定理證明，從而在折疊后對應(yīng)地有，然后利用平面平面，結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示條件說明平面，
然后再過點(diǎn)作，便可以得到平面，從而為直線與平面所成的角，進(jìn)而圍繞的長度進(jìn)行計算；方法2是利用空間向量法，先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（1）中的提示條件說明平面，將視為平面的一個法向量，然后利用確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計算的長度.
試題解析：證明：（1）因為等邊△的邊長為3，且，
所以，．
在△中，，
由余弦定理得．
因為，所以．
折疊后有．                                2分
因為二面角是直二面角，所以平面平面．           3分
又平面平面，平面，，
所以平面．                               4分
（2）解法1：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為．
如圖，作于點(diǎn)，連結(jié)、．      5分

由（1）有平面，而平面，
所以．                   6分
又

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形均為全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD，==90°=1200,AD=AB=1,AC交BD于 O 點(diǎn).
(I)求證:平面PBD丄平面PAC；
(Ⅱ)求三棱錐D-ABP和三棱錐B-PCD的體積之比.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形是正方形，，，，  
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求三棱錐的高

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，，
. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．
(I)求證：平面平面；
(II)求直線與平面所成角的正弦值；
(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側(cè)面底面，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大�。�
（2）已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面∥

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）證明：平面；
（3）求二面角的正切值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，⊥平面，∥，、、分別為、、的中點(diǎn)，且.

(1)求證：平面⊥平面；
(2)求三棱錐與四棱錐的體積之比．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，菱形的邊長為6，,.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐 ,點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.

(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案