【題目】已知函數(shù),其中
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性;
(3)是否存在這樣的負實數(shù),使對一切恒成立,若存在,試求出取值的集合;若不存在,說明理由
【答案】(1)奇函數(shù);(2)在上的減函數(shù);(3)存在這樣的k其范圍為.
【解析】試題分析:(1)已知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,再證明,所以函數(shù)是奇函數(shù);(2)用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減的步驟:設(shè)值—作差、變形—判斷符號—得出結(jié)論;(3)由(1)(2)得,不等式可變形為,從而得到不等式組,解得 .
試題解析:(1)∴是奇函數(shù).
(2)任取
∴在上的減函數(shù);
(3)是上的減函數(shù)
對恒成立
由對恒成立得:
對恒成立
令
,
∴,
由對恒成立得:
由對恒成立得:
即綜上所得:
所以存在這樣的k其范圍為
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+1,若至少存在兩個實數(shù)m,使得f(﹣m),f(1)、f(m+2)成等差數(shù)列,則過坐標原點作曲線y=f(x)的切線可以作( )
A.3條
B.2條
C.1條
D.0條
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)Tn= ,求證:Tn< .
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【題目】一個袋子里裝有7個球,其中有紅球4個,編號分別為1,2,3,4;白球3個,編號分別為2,3,4.從袋子中任取4個球(假設(shè)取到任何一個球的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4個球中,含有編號為3的球的概率;
(Ⅱ)在取出的4個球中,紅球編號的最大值設(shè)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】設(shè)z1 , z2是復數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1﹣z2|=0,則 =
B.若z1= ,則 =z2
C.若|z1|=|z2|,則z1 =z2
D.若|z1|=|z2|,則z12=z22
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【題目】中國古代算書《孫子算經(jīng)》中有一著名的問題“物不知數(shù)”如圖1,原題為:今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?后來,南宋數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)學九章》中對此類問題的解法做了系統(tǒng)的論述,并稱之為“大衍求一術(shù)”,如圖2程序框圖的算法思路源于“大衍求一術(shù)”執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為20,17,則輸出的c=( )
A.1
B.6
C.7
D.11
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)左、右焦點分別為F1 , F2 , A(2,0)是橢圓的右頂點,過F2且垂直于x軸的直線交橢圓于P,Q兩點,且|PQ|=3;
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l與橢圓交于兩點M,N(M,N不同于點A),若 =0, = ;
①求證:直線l過定點;并求出定點坐標;
②求直線AT的斜率的取值范圍.
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【題目】已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),滿足f'(x)<f(x),且f(x+3)為偶函數(shù),f(6)=1,則不等式f(x)>ex的解集為( )
A.(﹣∞,0)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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