已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率。
(1)求橢圓方程;
(2)一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為–,求直線l傾斜角的取值范圍。
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為
由已知,,由解得a=3,
∴為所求
(Ⅱ)解法一:設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)
解方程組
將①代入②并化簡(jiǎn),得
將④代入③化簡(jiǎn)后,得。
解得 ∴ , 所以?xún)A斜角 。
解法二:(點(diǎn)差法)設(shè)的中點(diǎn)為在橢圓內(nèi),且直線l不與坐標(biāo)軸平行。
因此,,
∵,
∴兩式相減得
即
∴。所以?xún)A斜角
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng):典型題,涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題,通過(guò)聯(lián)立方程組得到一元二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理可實(shí)現(xiàn)整體代換,簡(jiǎn)化解題過(guò)程。涉及橢圓上兩點(diǎn)問(wèn)題,可以利用“點(diǎn)差法”,建立連線的斜率與a,b的關(guān)系。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分15分)
在平面內(nèi),已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,橢圓的離心率為 ,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn), 且,
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)以橢圓的上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形,這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)、并求出直角邊所在直線方程?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)
拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),
且。
(1) 求拋物線方程;
(2) 在x軸上是否存在一點(diǎn)C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),并與雙曲線的實(shí)軸垂直,已知拋物線與雙曲線的交點(diǎn)為.
(1)求拋物線的方程;
(2)求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)△AMN得面積為時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)
過(guò)拋物線焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦叫做拋物線的通徑。如圖,已知拋物線,過(guò)其焦點(diǎn)F的直線交拋物線于、 兩點(diǎn)。過(guò)、作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為、.
(1)求出拋物線的通徑,證明和都是定值,并求出這個(gè)定值;
(2)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分12分)給定橢圓:,稱(chēng)圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn),且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),又知直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若,求實(shí)數(shù)k值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,其中左焦點(diǎn)(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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