Question

【題目】已知拋物線與橢圓有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.

（1）求拋物線的方程；

（2）試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出橢圓的焦點(diǎn)，容易求得拋物線的方程.

（2）解法一：設(shè)直線的方程為與拋物線聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)直線的方程為與拋物線聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)關(guān)系,從而得到的關(guān)系，找出定點(diǎn).

解法二：直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得到縱坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得到縱坐標(biāo)關(guān)系，從而可以解出，得到定點(diǎn).

（1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，坐標(biāo)為，

所以，所以拋物線的方程為；

（2）【解法一】因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱

所以設(shè)，，，

設(shè)直線的方程為，

代入得：，所以，

設(shè)直線的方程為，

代入得：，所以，

因?yàn)?/span>，，所以，即，

所以直線的方程為，必過定點(diǎn).

【解法二】

設(shè)，，，

因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以，

設(shè)直線的方程為，

代入得：，所以，

設(shè)直線的方程為，

代入得：，所以，

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以直線的方程為，必過定點(diǎn).