【題目】已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同， 為橢圓的左、右焦點(diǎn)． 為橢圓上任意一點(diǎn)， 面積的最大值為1．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線交橢圓于兩點(diǎn)．若直線與的斜率分別為，且．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)為可以得到橢圓的半焦距，而的面積的最大值為，利用算出，從而，橢圓方程為．（2）先設(shè)出和直線的方程 ，把轉(zhuǎn)化為，故聯(lián)立方程組消去再利用韋達(dá)定理把這個(gè)關(guān)于的關(guān)系式化簡(jiǎn)為，所以直線 恒過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．

解析：

（1）由拋物線的方程得其焦點(diǎn)為，所以橢圓中，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)， 面積最大，此時(shí)，所以，所以橢圓的方程為．

（2）聯(lián)立得， ，得，

設(shè)，則，又，整理得，即

，化簡(jiǎn)得，所以直線的方程為，因此直線 恒過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)離心率為 的橢圓E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1 ， F2 ， 點(diǎn)P是E上一點(diǎn)，PF1⊥PF2 ， △PF1F2內(nèi)切圓的半徑為 ﹣1．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2，A、B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長(zhǎng)為 ，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于， 兩點(diǎn)（， 不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】全國(guó)大學(xué)生機(jī)器人大賽是由共青團(tuán)中央，全國(guó)學(xué)聯(lián)，深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事，是中國(guó)最具影響力的機(jī)器人項(xiàng)目，是全球獨(dú)創(chuàng)的機(jī)器人競(jìng)技平臺(tái).全國(guó)大學(xué)生機(jī)器人大賽比拼的是參賽選手們的能力，堅(jiān)持和態(tài)度，展現(xiàn)的是個(gè)人實(shí)力以及整個(gè)團(tuán)隊(duì)的力量.2015賽季共吸引全國(guó)240余支機(jī)器人戰(zhàn)隊(duì)踴躍報(bào)名，這些參賽戰(zhàn)隊(duì)來(lái)自全國(guó)六大賽區(qū)，150余所高等院校，其中不乏北京大學(xué)，清華大學(xué)，上海交大，中國(guó)科大，西安交大等眾多國(guó)內(nèi)頂尖高校，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格篩選，最終由111支機(jī)器人戰(zhàn)隊(duì)參與到2015年全國(guó)大學(xué)生機(jī)器人大賽的激烈角逐之中，某大學(xué)共有“機(jī)器人”興趣團(tuán)隊(duì)1000個(gè)，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個(gè)，為挑選優(yōu)秀團(tuán)隊(duì)，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上團(tuán)隊(duì)中抽取20個(gè)團(tuán)隊(duì).

（1）應(yīng)從大三抽取多少個(gè)團(tuán)隊(duì)？

（2）將20個(gè)團(tuán)隊(duì)分為甲、乙兩組，每組10個(gè)團(tuán)隊(duì)，進(jìn)行理論和實(shí)踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的分?jǐn)?shù)如下：

甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142

乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140

從甲、乙兩組中選一組強(qiáng)化訓(xùn)練，備戰(zhàn)機(jī)器人大賽.從統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD .

（1）求證：CD⊥平面ABD；

（2）若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A－MBC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】拋物線x2=ay（a＞0）的準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)P，若l繞點(diǎn)P以每秒 弧度的角速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒鐘后，恰與拋物線第一次相切，則t等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和它到直線l：x=﹣m（m＞0）的距離之比是一個(gè)常數(shù) ．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡；
（Ⅱ）若m=1時(shí)得到的曲線是C，將曲線C向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線E，過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）的直線l1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），過(guò)F（1，0）的直線AF、BF分別交曲線E于點(diǎn)D、Q，設(shè) =α ， =β ，α、β∈R，求α+β的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，將該函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)， 為原點(diǎn).

①求證： ；

②設(shè)、分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，證明: 為定值.

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