【題目】設(shè)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和它到直線l:x=﹣m(m>0)的距離之比是一個(gè)常數(shù) .
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡;
(Ⅱ)若m=1時(shí)得到的曲線是C,將曲線C向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線E,過(guò)點(diǎn)P(﹣2,0)的直線l1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),過(guò)F(1,0)的直線AF、BF分別交曲線E于點(diǎn)D、Q,設(shè) =α , =β ,α、β∈R,求α+β的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)過(guò)M作MH⊥l,H為垂足,
設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則丨OM丨= ,丨MH丨=丨x+m丨,
由丨OM丨= 丨MH丨,則 = 丨x+m丨,整理得: x2+y2﹣mx﹣ m2=0,
∴ ,
顯然點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
(Ⅱ)當(dāng)m=1時(shí),則曲線C的方程是: ,
故曲線E的方程是 ,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),D(x3 , y3),
=(1﹣x1 , ﹣y1), =(x3﹣1,y3), =α ,則﹣y1=αy3 ,
則α= ,
當(dāng)AD與x軸不垂直時(shí),直線AD的方程為y= (x﹣1),即x= ,代入曲線E方程,
,整理得:(3﹣2x1)y2+2y1(x1﹣1)y﹣y12=0,y1y3=﹣ ,﹣ =3﹣2x1 , 則α=3﹣2x,
當(dāng)AD與x軸垂直時(shí),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=1,α=1,
顯然α=3﹣2x1也成立,
同理可得:β=3﹣2x2 ,
設(shè)直線l1的方程為y=k(x+2),代入 ,整理得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣2=0,
由k≠0,則△=(8k2)2﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)>0,
解得:0<k2< ,
由x1+x2=﹣ ,
則α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2(x1+x2)=14﹣ ,
∵α+β∈(6,10),
∴α+β的取值范圍(6,10)
【解析】(Ⅰ)利用兩點(diǎn)之間的距離公式,求得 = 丨x+m丨,整理即可求得點(diǎn)M的軌跡;(Ⅱ)當(dāng)m=1時(shí),求得E的方程,根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得α=3﹣2x,β=3﹣2x2 , 設(shè)直線l1的方程為y=k(x+2)代入橢圓方程,由△>0,求得k的取值范圍,則α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2(x1+x2),由韋達(dá)定理即可求得α+β的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣e﹣x , 下列命題正確的有 . (寫出所有正確命題的編號(hào))
①f(x)是奇函數(shù);
②f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù);
③方程f(x)=x2+2x有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根;
④如果對(duì)任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25”的概率;
(2) 若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與4月份所選5天的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的. 請(qǐng)根據(jù)4月7日,4月15日與4月21日這三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程,并判定所得的線性回歸方程是否可靠?
參考公式: ,
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同, 為橢圓的左、右焦點(diǎn). 為橢圓上任意一點(diǎn), 面積的最大值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線交橢圓于兩點(diǎn).若直線與的斜率分別為,且.求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校高一年級(jí)有學(xué)生名,高二年級(jí)有學(xué)生名.現(xiàn)用分層抽樣方法(按高一年級(jí)、高二年級(jí)分二層)從該校的學(xué)生中抽取名學(xué)生,調(diào)查他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.
(Ⅰ)高一年級(jí)學(xué)生中和高二年級(jí)學(xué)生中各抽取多少學(xué)生?
(Ⅱ)通過(guò)一系列的測(cè)試,得到這名學(xué)生的數(shù)學(xué)能力值.分別如表一和表二
表一:
高一年級(jí) | |||||
人數(shù) |
表二:
高二年級(jí) | |||||
人數(shù) |
①確定,并在答題紙上完成頻率分布直方圖;
②分別估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生和高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力值的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
③根據(jù)已完成的頻率分布直方圖,指出該校高一年級(jí)學(xué)生和高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力值分布特點(diǎn)的不同之處(不用計(jì)算,通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f.
(1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(3)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:(1)f(x)+f(2﹣x)=0,(2)f(x﹣2)=f(﹣x),(3)在[﹣1,1]上表達(dá)式為f(x)= ,則函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)= 的圖象區(qū)間[﹣3,3]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.5
B.6
C.7
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.
(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;
(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對(duì)理科題的概率均為 ,答對(duì)文科題的概率均為 ,若每題答對(duì)得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
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