已知在長方體中，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為．

解析試題分析：（Ⅰ）求證：平面平面，證明兩個(gè)平面垂直，只需證明一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線即可，由長方體的性質(zhì)，易證平面，從而可證平面平面；（Ⅱ）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值，求二面角問題，可用傳統(tǒng)方法，找二面角的平面角，但本題不易找，另一種方法，用向量法，本題因?yàn)槭情L方體，容易建立空間坐標(biāo)系，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別設(shè)出兩個(gè)平面的法向量，利用向量的運(yùn)算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）為正方形                      2分
平面                         4分
又，平面  平面平面      6分
（Ⅱ）建立以為軸，以為軸，以為軸的空間直角坐標(biāo)系     7分
設(shè)平面的法向量為，
                    9分
設(shè)平面的法向量為，
                      11分
                             13分
二面角的余弦值為                     14分
考點(diǎn)：面面垂直，二面角．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，.

（1）若為的中點(diǎn)，證明：面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，連接CE并延長交AD于F.

(1)求證：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PA⊥平面ABCD.
 
(1)求證：PC⊥BD；
(2)過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點(diǎn)E，且三棱錐E-BCD的體積取到最大值．
①求此時(shí)四棱錐E-ABCD的高；
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA1上．

(1)當(dāng)AE∶EA1＝1∶2時(shí)，求證DE⊥BC1；
(2)是否存在點(diǎn)E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，⊥平面，底面為梯形，∥，⊥，，點(diǎn)在棱上，且．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：∥面；
（2）若直線與平面所成角為，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

斜三棱柱，其中向量,三個(gè)向量之間的夾角均為，點(diǎn)分別在上且，=4，如圖

（Ⅰ）把向量用向量表示出來，并求；
（Ⅱ）把向量用表示；
（Ⅲ）求與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在邊長是2的正方體-中，分別為
的中點(diǎn). 應(yīng)用空間向量方法求解下列問題.

(1)求EF的長
(2)證明：平面；
(3)證明: 平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：在空間四邊形ABCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，且AB=BC＝2，E是AC的中點(diǎn)，異面直線AD和BE所成的角為，求BD的長度.(15分)

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