等軸雙曲線的兩個頂點分別為A1、A2，垂直于雙曲線實軸的直線與雙曲線交于M、N兩點，求證：

(1)∠MA1N+∠MA2N=180°;

(2)MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.

思路解析：即證∠MA1N與∠MA2N互補，根據(jù)雙曲線的對稱性，可證其半角互余.

證明:（1）不妨設等軸雙曲線的方程為-=1.

設直線MN的方程為x=b(b＞a).

如上圖易求得

N(b,).

∴tanNA1x==,

tanNA2x==.

∴tanNA1x==cotNA2x

=tan(-∠NA2x).

又∠NA1x,∠NA2x均為銳角,

∴∠NA1x=90°-∠NA2x,

即∠NA1x+∠NA2x=90°.

根據(jù)對稱性，∠NA1M+∠NA2M=180°.

（2）仿（1）可求得M(b,-).

∴·=·=-1.

∴MA1⊥A2N.同理可證MA2⊥A1N.


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（２）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.

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