Question

等軸雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于雙曲線實(shí)軸的直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn),求證：

(1)∠MA₁N＋∠MA₂N＝180°；

(2)MA₁⊥A₂N，MA₂⊥A₁N.

Answer 1

證明:(1)不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為

＝1,

設(shè)直線MN的方程為x=b(b＞a).

如上圖,易求得

N(b,),

∴tan∠NA₁x＝＝,

tan∠NA₂x＝＝.

∴tan∠NA₁x＝＝cot∠NA₂x＝tan(－∠NA₂x).

又∠NA₁x，∠NA₂x均為銳角,

∴∠NA₁x＝90°－∠NA₂x，即∠NA₁x＋∠NA₂x＝90°.

根據(jù)對(duì)稱性，∴∠NA₁M＋∠NA₂M＝180°.

(2)仿(1)可求得M(b，－).

∴k·k＝·＝－1.

∴MA₁⊥A₂N.同理可證MA₂⊥A₁N.

點(diǎn)評(píng):利用對(duì)稱性把要證等式轉(zhuǎn)化為證明∠NA₂x＋∠NA₁x＝90°為本題證明的突破口，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化意識(shí).