Question

【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，

（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；

（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6，若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.

（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當取最小值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；直線方程為3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0

【解析】

（1）將題目所給直線方程重新整理，由此證得直線恒過定點，并求得定點坐標.

（2）設出直線方程截距式，根據題目所給條件，求出直線方程.

（3）設出直線的傾斜角，求得的表達式并結合三角函數的知識求得最小值，以及此時的直線方程.

（1）依題意直線方程為，

即，

即，

所以由，解得，故直線過定點.

（2）依題意設直線方程為，將代入得①.

則，則，解得或.

其中不滿足①，滿足①.

所以存在直線，即滿足條件.

（3）由（1）知直線過定點，而若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，所以直線的傾斜角，

所以，

所以②，

令，

由于，所以，所以，

所以.

則②可化為，由于在上為減函數，所以在上為增函數，故當，即時，取得最小值為.此時直線方程為，即，

也即.