Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，是中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)到平面的距離；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理可證明平面，從而可分別以為軸、軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求的方向向量，再出利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個(gè)法向量，從而可得線面成角的正弦值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個(gè)法向量，結(jié)合（1）的結(jié)論，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值.

試題解析：∵正方形邊長(zhǎng)，

∴，∴，∴平面，

∴分別以為軸、軸，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

∴，

（1）設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則，令，得，

∴與平面所成角的正弦值，

∴點(diǎn)到平面的距離為；

（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則，令，得，

∴，∴二面角的余弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角與線面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.