Question

已知函數(shù)．
(Ⅰ)若在上的最大值為，求實數(shù)的值；
(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．

試題分析：（Ⅰ）由，得，
令，得或．
當變化時，及的變化如下表：

		-		+		-
		↘	極小值	↗	極大值	↘

由，，，
即最大值為，．                          4分
（Ⅱ）由，得．
，且等號不能同時取，，即 
恒成立，即．                     6分
令，求導得，，
當時，，從而，
在上為增函數(shù)，，．          8分
（Ⅲ）由條件，，
假設曲線上存在兩點，滿足題意，則， 只能在軸兩側(cè)，
不妨設，則，且．
是以為直角頂點的直角三角形，，
    ，
是否存在，等價于方程在且時是否有解．            10分
①若時，方程為，化簡得，此方程無解；
②若時，方程為，即，
設，則，
顯然，當時，，
即在上為增函數(shù)，
的值域為，即，當時，方程總有解．
對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．    14分
點評：難題，在給定區(qū)間，導數(shù)非負，函數(shù)為增函數(shù)，導數(shù)非正，函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)加以解決。本題（III）需要分類討論，易于出錯，是叫男的一道題目。