Question

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一型號(hào)零件．記生產(chǎn)的零件的尺寸為t（cm），相關(guān)行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定：若t∈（2.9，3.1]，則該零件為優(yōu)等品；若t∈（2.8，2.9]∪（3.1，3.2]，則該零件為中等品；其余零件為次品．現(xiàn)分別從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取50件，經(jīng)質(zhì)量檢測(cè)得到下表數(shù)據(jù)：

尺寸	[2.7，2.8]	（2.8，2.9]	（2.9，3.0]	（3.0，3.1]	（3.1，3.2]	（3.2，3.3]
甲機(jī)床零件頻數(shù)	2	3	20	20	4	1
乙機(jī)床零件頻數(shù)	3	5	17	13	8	4

（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元．試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，估算甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤(rùn)的平均值；
（Ⅱ）對(duì)于這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件，在排除其它因素影響的情況下，試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)約有多大的把握認(rèn)為“零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān)”，并說(shuō)明理由．
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析：（I）求出隨機(jī)抽取50件樣本的總利潤(rùn)，然后將總利潤(rùn)除以50即可求出甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤(rùn)的平均值；
（Ⅱ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的數(shù)值代入公式K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，同臨界值進(jìn)行比較，得到有95%的把握認(rèn)為“零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān)”．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件獲得的利潤(rùn)為X元，
則有X=[40×3+7×1+3×（-1）]÷50=2.48 元
所以，甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤(rùn)的平均值為2.48元．
（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知：甲機(jī)床優(yōu)等品40個(gè)，非優(yōu)等品10個(gè)；乙機(jī)床優(yōu)等品30個(gè)，非優(yōu)等品20個(gè)．
制作2×2列聯(lián)表如下：

	甲機(jī)床	乙機(jī)床	合計(jì)
優(yōu)等品	40	30	70
非優(yōu)等品	10	20	30
合計(jì)	50	50	100

計(jì)算K²=

100(40×20-30×10)2

50×50×70×30

=

100

21

≈4.762．
考察參考數(shù)據(jù)并注意到3.841＜4.762＜5.024，可知：對(duì)于這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件，在排除其它因素影響的情況下，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，約有95%的把握認(rèn)為“零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān)”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查列聯(lián)表，獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．