已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
(1)橢圓方程為;(2)存在定點(diǎn),使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn) 

試題分析:(1)由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長為2,即,故,由此可得橢圓方程 (2)首先考慮與坐標(biāo)軸平行的特殊情況,當(dāng)與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為;當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為,解方程組求出這兩個(gè)圓的交點(diǎn):
若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為 
接下來就一般情況證明為所求 設(shè)直線,則,將與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得:,代入上式證明其等于0即可
試題解析:(1)由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
又斜邊長為2,即,
橢圓方程為                                  (4分)
(2)當(dāng)與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為;
當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為    (6分)
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明 設(shè)直線,
,
,                           (8分)

       (10分)

,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)                  (13分)
注: 此題直接設(shè),得到關(guān)于的恒成立問題也可求解
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

知橢圓的兩焦點(diǎn)、,離心率為,直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)軸上的射影為點(diǎn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求直線的方程,使的面積最大,并求出這個(gè)最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點(diǎn),a>b>0.
(1)若P(,),Q(,1),求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(4m,0)(m>0,m為常數(shù)),離心率等于0.8,過焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若θ=90°,,求實(shí)數(shù)m;
(3)試問的值是否與θ的大小無關(guān),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若兩曲線在交點(diǎn)P處的切線互相垂直,則稱該兩曲線在點(diǎn)P處正交,設(shè)橢圓與雙曲線在交點(diǎn)處正交,則橢圓的離心率為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(-2,-1),離心率為.過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值,證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)),設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P,已知橢圓C的離心率為,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PA的斜率為k1,直線MA的斜率為k2,求k1·k2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)F1、F2分別是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若在直線x=上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓的離心率的取值范圍是________.

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橢圓=1的兩焦點(diǎn)為F1、F2,一直線過F1交橢圓于P、Q,則△PQF2的周長為________.

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