Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(4m，0)(m＞0，m為常數(shù))，離心率等于0.8，過焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若θ＝90°，，求實(shí)數(shù)m；
(3)試問的值是否與θ的大小無關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）＝1.（2）m＝（3）無關(guān)

(1)∵c＝4m，橢圓離心率e＝＝，∴a＝5m.∴b＝3m.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
(2)在橢圓方程＝1中，令x＝4m，解得y＝±.
∵當(dāng)θ＝90°時(shí)，直線MN⊥x軸，此時(shí)FM＝FN＝，∴＝.
∵＝，∴＝，解得m＝.
(3)的值與θ的大小無關(guān)．
證明如下：(證法1)設(shè)點(diǎn)M、N到右準(zhǔn)線的距離分別為d₁、d₂.
∵＝，＝，∴＝.
又由圖可知，MFcosθ＋d₁＝－c＝，
∴d₁＝，即＝.
同理，＝＝(－cosθ＋1)．
∴＝＋(－cosθ＋1)＝.
∴＝·＝.顯然該值與θ的大小無關(guān)．
(證法2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，由(2)知，的值與θ的大小無關(guān)．
當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y＝k(x－4m)，
代入橢圓方程＝1，得(25k²＋9)m²x²－200m³k²x＋25m⁴(16k²－9)＝0.
設(shè)點(diǎn)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，∵Δ＞0恒成立，∴x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
∵＝，＝，∴MF＝5m－x₁，NF＝5m－x₂.
∴＝.
顯然該值與θ的大小無關(guān)．