Question

如圖，設(shè)P是拋物線(xiàn)C₁：x²=y上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P做圓C₂：x²+（y+3）²=1的兩條切線(xiàn)，交直線(xiàn)l：y=-3于A(yíng)，B兩點(diǎn)。

（1）求C₂的圓心M到拋物線(xiàn)C₁準(zhǔn)線(xiàn)的距離；
（2）是否存在點(diǎn)P，使線(xiàn)段AB被拋物線(xiàn)C₁在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由題意可知，拋物線(xiàn)C₁的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：
所以圓心M到拋物線(xiàn)C₁準(zhǔn)線(xiàn)的距離為；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，x₀²），拋物線(xiàn)C₁在點(diǎn)P處的切線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)D
再設(shè)A，B，D的橫坐標(biāo)分別為
過(guò)點(diǎn)P（x₀，x₀²）的拋物線(xiàn)C₁的切線(xiàn)方程為：  （1）
當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（1，1）與圓C₂的切線(xiàn)PA為：
可得
所以
設(shè)切線(xiàn)PA，PB的斜率為，則
   （2）
  （3）
將分別代入（1），（2），（3），得

從而
又
即
同理
所以是方程的兩個(gè)不相等的根，從而
，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110901/20110901145959022993.gif">
所以，即
從而
進(jìn)而得
綜上所述，存在點(diǎn)P滿(mǎn)足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。