Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線Ω：y²=2px（p＞0）的焦點F，與拋物線交于兩點A，B，
（1）若|AB|=8，求拋物線Ω的方程；
（2）設(shè)C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求△ABC的面積S的最大值；
（3）設(shè)P是拋物線Ω上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關(guān)）

Answer 1

分析：（1）由題意得出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義即可求出其方程；
（2）當過點C的切線與AB平行時三角形ABC的面積最大，求出弦長|AB|及兩平行線間的距離即可；
（3）根據(jù)點A、B、P在拋物線上可設(shè)出其坐標，利用點斜式分別寫出直線PA、PB的方程，進而得出點M、N的坐標，再利用（1）的結(jié)論及根與系數(shù)的關(guān)系即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直線l斜率為1且過焦點F(

p

2

，0)，∴直線l的方程為y=x-

p

2

．
聯(lián)立

y=x- p 2 y2=2px

，消去y得到關(guān)于x的方程x2-3px+

p2

4

=0，
由題意，△=9p²-p²＞0．
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

．
由拋物線的定義可得：|AB|=xx₁+x₂+p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2．
因此所求的拋物線方程為y²=4x．
（2）由題意可知：當過點C的切線與AB平行時三角形ABC的面積最大，
設(shè)此切線為y=x+t，與拋物線方程聯(lián)立得

y=x+t y2=2px

，消去y得到關(guān)于x的方程x²+（2t-2p）x+t²=0，
∴△=（2tt-2p）²-4t²=0，解得t=

p

2

，∴切線為y=x+

p

2

．
因此切線與直線AB的距離d=

|- p 2 - p 2 |

2

=

2 p

2

．
∴△ABC的最大面積=

1

2

×

2 p

2

×4p=

2

p2．
（3）設(shè)A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)，P(

y02

2p

，y0)．
則直線PA的方程為y-y0=

y0-y1

y02 2p - y12 2p

(x-

y02

2p

)，化為y-y0=

2p

y0+y1

(x-

y02

2p

)，
令x=-

p

2

，則y_M=

y0y1-p2

y0+y1

，
同理可得yN=

y0y2-p2

y0+y2

，
∴y_M•y_N=

y02y1y2-p2y0(y1+y2)+p4

y02+y0(y1+y2)+y1y2

，
由（1）可得：y²-2py-p²=0，
∴y₁+y₂=2p，y1y2=-p2．
∴y_M•y_N=

-y02p2-2p3y0+p4

y02+2py0-p2

=-p²為定值．

點評：熟練掌握直線的點斜式方程、拋物線的定義、直線與拋物線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)后得到的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、切線的性質(zhì)及兩平行線間的距離是解題的關(guān)鍵．