Question

設(shè)f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最大值，進而求出變量m的范圍．

解答：解：f′（x）=3x²-x-2=0
解得：x=1或-

2

3

當x∈(-1，-

2

3

)時，f'（x）＞0，
當x∈(-

2

3

，1)時，f'（x）＜0，
當x∈（1，2）時，f'（x）＞0，
∴f（x）_max={f（-

2

3

），f（2）}_max=7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞f_max（x）=7．
故答案為：（7，+∞）

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題．