Question

已知x、y之間滿足

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
（1）方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)表示的曲線經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(

3

，

1

2

)，求b的值
（2）（理做文不做）動(dòng)點(diǎn)（x，y）在曲線

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上變化，求x²+2y的最大值．

Answer 1

分析：（1）把已知點(diǎn)代入橢圓的方程求得b．
（2）利用橢圓的方程可表示出x²，進(jìn)而把x²+2y整理成關(guān)于y的函數(shù)解析式，分別看當(dāng)

b2

4

≥b和

b2

4

+4≤b時(shí)x²+2y的最大值．

解答：解：（1）把點(diǎn)(

3

，

1

2

)代入

3 2

4

+

1

4b2

=1（b＞0）∴b=1
（2）根據(jù)

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)
∴x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)
當(dāng)

b2

4

≥b時(shí)，即b≥4時(shí)（x²+2y）_max=2b+4當(dāng)

b2

4

≤b時(shí)，即0≤b≤4時(shí)（x²+2y）_max=

b2

4

+4
∴（x²+2y）_max=

2b+4，(b≥4) b2 4 +4，(0≤b＜4)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了曲線與方程的問(wèn)題．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．