【題目】如圖,在四棱錐中,已知平面平面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)的中點(diǎn),底面是矩形,,上一點(diǎn),且.

1)若,點(diǎn)的中點(diǎn),求證:平面平面

2)是否存在,使得直線與平面所成角的正切值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2)存在;

【解析】

1)先根據(jù)三角形的中位線和矩形的性質(zhì)得到線線平行,再根據(jù)面面平行的判定定理證明即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求解.

解:(1)因?yàn)?/span>,所以的中點(diǎn),

因?yàn)辄c(diǎn)的中點(diǎn),所以

又底面是矩形,所以,所以.

中,由點(diǎn)的中點(diǎn),的中點(diǎn),得.

,平面,平面

,平面,平面,

所以平面平面.

2)連接,因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)的中點(diǎn),所以.又平面平面,平面平面,

所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,.

設(shè)平面的法向量為,

所以,令,則,

所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成的角為

.

假設(shè)存在符合題意的,

因?yàn)?/span>,所以,

所以,化簡(jiǎn)整理得,得.

所以當(dāng),即為線段的中點(diǎn)時(shí),直線與平面所成角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知點(diǎn),直線,點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn),過作直線,的中垂線,交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線Γ.

1)求曲線Γ的方程;

2)若過的直線與Γ交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求的比值.

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【題目】已知下列命題:

①函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

②若函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是

③當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為0;

④函數(shù)上單調(diào)遞減;

上述命題正確的是_________(填序號(hào)).

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【題目】如圖,菱形ABCD中,,O為線段CD的中點(diǎn),將沿BO折到 的位置,使得E的中點(diǎn).

1)求證:;

2)求直線AE與平面所成角的正弦值

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【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)棱垂直于底面,,,的中點(diǎn),平行于,平行于面.

(1)求的長(zhǎng);

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在三棱柱中,側(cè)面為菱形,,,側(cè)面為正方形,平面平面.點(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且.

1)證明:平面平面

2)求直線與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某外國(guó)語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.

(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.

女生

男生

總計(jì)

獲獎(jiǎng)

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)

附表及公式:

其中,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑作圓,記為,與拋物線C的準(zhǔn)線始終相切.

1)求拋物線C的方程;

2)過圓心Mx軸垂線與拋物線相交于點(diǎn)N,求的取值范圍.

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【題目】2020年新冠肺炎疫情暴發(fā)以來,中國(guó)政府迅速采取最全面、最嚴(yán)格、最徹底的防控舉措,堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭,努力把疫情影響降到最低,為全世界抗擊新冠肺炎疫情做岀了貢獻(xiàn).為普及防治新冠肺炎的相關(guān)知識(shí),某高中學(xué)校開展了線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)答活動(dòng),現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)者,他們的得分(滿分100分)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖:

1)若此次知識(shí)競(jìng)答得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計(jì)總體,設(shè),分別為這200名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替),求的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;

2)在(1)的條件下,為感謝大家積極參與這次活動(dòng),對(duì)參與此次知識(shí)競(jìng)答的幸運(yùn)者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)中,抽到18元紅包的概率為,抽到36元紅包的概率為.已知高三某同學(xué)是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者,記為該同學(xué)在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額,求的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算舉辦此次活動(dòng)所需要抽獎(jiǎng)紅包的總金額.

參考數(shù)據(jù):;

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