Question

如圖①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE=4；將△BCD沿CD折起，如圖②，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）在線段DE上是否存在一點(diǎn)G，使FG∥平面BDC？若存在，求出點(diǎn)G的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先證明ED⊥DC，再利用平面BCD⊥平面ACD，可得DE⊥平面BCD；
（2）取AD的中點(diǎn)H，AC的中點(diǎn)M，證明FH∥平面BDC、MH∥平面BDC，可得平面FMH∥平面BDC，記MH與DE交于點(diǎn)G，可得FG∥平面BDC，故G點(diǎn)為所求，由此可得結(jié)論．

解答：（1）證明：在圖①中，Rt△ABC，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∴∠BCA=60°，
又∵CD為∠ACB的平分線，∴∠BCD=∠DCE=30°，
在Rt△BDC中，DC=2

3

，∴BC：DC=DC：EC=

3

：2
∴△BCD∽△DCE，從而∠EDC=∠DBC=90°，即ED⊥DC；
∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD．…（7分）
（2）解：取AD的中點(diǎn)H，AC的中點(diǎn)M，連接FH、FM、MH，

在△ABD中，F(xiàn)、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，則FH為△ABD的中位線，∴FH∥BD，
又∵FH?平面BDC，BD?平面BDC，∴FH∥平面BDC；
同理，MH∥平面BDC
又FH∩MH=H，F(xiàn)H?平面FMH，MH?平面FMH
∴平面FMH∥平面BDC；
記MH與DE交于點(diǎn)G，則FG?平面FMH，∴FG∥平面BDC，故G點(diǎn)為所求
∵EM=AM-AE=1，∴EM：MC=1：3，
∴EG：GD=1：3，即G為ED上最靠近E的四點(diǎn)分點(diǎn)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．