如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
(1)求證:BC∥平面A1DE;
(2)求證:BC⊥平面A1DC;
(3)當(dāng)D點(diǎn)在何處時(shí),A1B的長(zhǎng)度最小,并求出最小值.
分析:根據(jù)線線平行⇒線面平行證明(1);根據(jù)線面垂直?線線垂直可證(2);
設(shè)AD=x或設(shè)DC=x,利用垂直關(guān)系判定△,△A1CB,△A1DC的形狀,構(gòu)造以A1B為變量,x為自變量的函數(shù),求函數(shù)的最小值即可.
解答:解:(本小題共14分)                                                        
(1)證明:∵DE∥BC,DE?面A1DE,BC?面A1DE
∴BC∥面A1DE…(4分)
(2)證明:在△ABC中,∠C=90°,DE∥BC,
∴AD⊥DE∴A1D⊥DE.
又A1D⊥CD,CD∩DE=D,∴A1D⊥面BCDE.
由BC?面BCDE,
∴A1D⊥BC.BC⊥CD,A1D∩CD=D,
∴BC⊥面A1DC.…(9分)
(3)設(shè)DC=x則A1D=6-x由(Ⅱ)知,△A1CB,△A1DC均為直角三角形.
A1B=
A1C2+BC2
=
A1D2+DC2+BC2
,即A1B=
x2+32+(6-x)2
=
2x2-12x+45
=
2(x-3)2+27
…(12分)
當(dāng)x=3時(shí),A1B的最小值是3
3

即當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí),A1B的長(zhǎng)度最小,最小值為3
3
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面平行、垂直的判定與空間中點(diǎn)、點(diǎn)距離的最值問(wèn)題.設(shè)出變量,構(gòu)造函數(shù)利用求函數(shù)最值的方法求解,是此類題的常用方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北京)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大;
(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北京)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.
(1)求證:DE∥平面A1CB;
(2)求證:A1F⊥BE;
(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面A1DC;
(Ⅱ)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的正弦值;
(Ⅲ)當(dāng)D點(diǎn)在何處時(shí),A1B的長(zhǎng)度最小,并求出最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•宜賓二模)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
(Ⅰ)求證:平面A1BC⊥平面A1DC;
(Ⅱ)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的余弦值;
(Ⅲ)當(dāng)D點(diǎn)在何處時(shí),A1B的長(zhǎng)度最小,并求出最小值.

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