Question

（2012•江門一模）已知直線x-

3

y+

3

=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點B和一個焦點F．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓C上動點，求||PF|-|PB||的取值范圍，并求||PF|-|PB||取最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線x-

3

y+

3

=0，可得B（0，1），F(xiàn)（-

3

，0），即以b=1，c=

3

，進而可得橢圓的離心率；
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=|PB|時，||PF|-|PB||=0，當(dāng)且僅當(dāng)P是直線BF與橢圓C的交點時，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，由此可得||PF|-|PB||的取值范圍是[0，2]；根據(jù)|PF|=|PB|，可得點P的坐標．

解答：解：（1）依題意，B（0，1），F(xiàn)（-

3

，0），所以b=1，c=

3

…（2分），
所以a=

b2+c2

=2…（3分），
所以橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

…（4分）．
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=|PB|時，||PF|-|PB||=0…（5分），
當(dāng)且僅當(dāng)P是直線BF與橢圓C的交點時，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，
所以||PF|-|PB||的取值范圍是[0，2]…（7分）．
設(shè)P（m，n），由|PF|=|PB|得

3

m+n+1=0…（9分），
代入橢圓方程，消去n可得13m²+8

3

m=0，∴m=0或m=-

8 3

13

m=0時，n=-1；m=-

8 3

13

時，n=

11

13

…（11分），
∴所求點P為p（0，-1）和P（-

8 3

13

，

11

13

）…（12分）．

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓方程的運用，正確確定橢圓的方程是關(guān)鍵．