【題目】已知函數(shù).

(1)當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(2)證明:當時,函數(shù)有最小值,設最小值為,求函數(shù)的值域.

【答案】(1);(2)答案見解析.

【解析】分析:分析題意,該題可借助于利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值的方法進行解答,對于

(1),首先將式子進行轉化,構造新函數(shù),借助于導數(shù)來完成即可;對于(2)利用導數(shù)求函數(shù)的最值,不難得到函數(shù)的最小值為,則,再利用導數(shù)求出其值域即可.

詳解:(1)因為恒成立,

等價于恒成立,

,

上單調(diào)遞增,

時,由上知

所以,

.

所以實數(shù)的取值范圍為

(2)對求導得

由(1)知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

,

所以存在唯一正實數(shù)

使得,

∴當時,,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;

時,,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增;

所以內(nèi)有最小值,

有題設即,

又因為,

所以

根據(jù)(1)知,內(nèi)單調(diào)遞增,,

所以

,

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

所以,

即函數(shù)的值域為.

練習冊系列答案
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