Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點(diǎn)與曲線交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設(shè)直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，得直線的方程，得其過定點(diǎn)，且得出定點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)圓心，依題意有

，即得，

∴曲線的方程為．

（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，，，

則直線：，，

由得，

，

∴，，

∴．

同理得．

當(dāng)或時(shí)，直線的方程為；

當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．