Question

在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為

x=4cosθ y=2sinθ

（θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．
（Ⅰ）化曲線C₁、C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）設曲線C₁與x軸的一個交點的坐標為P（m，0）（m＞0），經過點P作曲線C₂的切線l，求切線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據同角三角函數的關系消去參數θ可求出曲線C₁的普通方程，然后利用極坐標公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ進行化簡即可求出曲線C₂普通方程，結合方程說明所表示曲線；
（Ⅱ）先求出曲線C₁與x軸的一個交點P的坐標，然后設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立等式關系，求出斜率，的到直線方程．

解答：解：（Ⅰ）曲線C₁：

x2

16

+

y2

4

=1；曲線C₂：（x-1）²+（y+2）²=5；（3分）
曲線C₁為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是4，短半軸長是2的橢圓；
曲線C₂為圓心為（1，-2），半徑為

5

的圓（2分）
（Ⅱ）曲線C₁：

x2

16

+

y2

4

=1與x軸的交點坐標為（-4，0）和（4，0），因為m＞0，
所以點P的坐標為（4，0），（2分）
顯然切線l的斜率存在，設為k，則切線l的方程為y=k（x-4），
由曲線C₂為圓心為（1，-2），半徑為

5

的圓得

|k+2-4k|

k2+1

=

5

，
解得k=

3± 10

2

，所以切線l的方程為y=

3± 10

2

(x-4)（3分）

點評：本題主要考查了參數方程化成普通方程，以及圓的切線方程，屬于基礎題．