【題目】已知數(shù)列{an},其前n項和為Sn
(1)若{an}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列,且{ }也為公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}對任意m,n∈N* , 且m≠n,都有 =am+an+ ,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

【答案】
(1)解:根據(jù)題意得:an=a1+(n﹣1)d,Sn=na1+ d,

= 成等差數(shù)列,公差為d,

=dn,

,

解得:d= ,a1=﹣ ,

則an= n﹣


(2)解:令m=2,n=1,則 =2a2,即 =a2,

整理得:a1+a3=2a2,即a1,a2,a3成等差數(shù)列,

下面用數(shù)學歸納法證明{an}成等差數(shù)列,

假設a1,a2,…,ak成等差數(shù)列,其中k≥3,公差為d,

則令m=k,n=1, =ak+a1+d,

∴2Sk+1=(k+1)(ak+a1+d)=k(ak+a1)+a1+ak+(k+1)d=2Sk+a1+ak+(k+1)d,

∴2ak+1=a1+ak+(k+1)d=2(a1+kd),即ak+1=a1+kd,

∴a1,a2,…,ak,ak+1成等差數(shù)列,

則對于一切自然數(shù),數(shù)列{an}是等差數(shù)列


【解析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式表示出an與Sn , 代入驗證即可確定出數(shù)列{an}的通項公式;(2)令m=2,n=1確定出a1 , a2 , a3成等差數(shù)列,再利用數(shù)學歸納法證明對于一切n≥3的自然數(shù),數(shù)列{an}是等差數(shù)列即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解等差關系的確定(如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列),還要掌握等差數(shù)列的性質(在等差數(shù)列{an}中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列)的相關知識才是答題的關鍵.

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甲校高二年級數(shù)學成績:

分組

[50,60

[60,70

[70,80

[80,90

[90,100]

頻數(shù)

10

25

35

30

x

乙校高二年級數(shù)學成績:

分組

[50,60

[60,70

[70,80

[80,90

[90,100]

頻數(shù)

15

30

25

y

5

1計算x,y的值,并分別估計以上兩所學校數(shù)學成績的平均分精確到1分

2若數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀,低于80分的為非優(yōu)秀,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)寫下面2×2列聯(lián)表,并回答能否在犯錯誤的概率不超過005的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異?”

甲校

乙校

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

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