【題目】如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；

（3）利用共線向量和向量線性運算表示出，根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長即為所求結(jié)果.

（1）以為原點可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，，，

，

（2）由（1）知：，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個法向量為

設(shè)平面的法向量

則，令，則，

二面角的正弦值為

（3）由（1）知：，

設(shè)，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個法向量為

設(shè)為直線與平面所成角

則，解得：

則 ，即的長為

練習(xí)冊系列答案
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方案2：連猜三道“生活”類試題．

設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．

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學(xué)時數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據(jù)上表估計男性客戶購買該課程學(xué)時數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）；

（2）從這100位客戶中，對購買該課程學(xué)時數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學(xué)時數(shù)都不低于15的概率．

（3）將購買該課程達(dá)到25學(xué)時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學(xué)時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)？

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計

男性

女性

合計

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明點在一條定直線上運動，并求出該直線的方程；

（3）求面積的最大值.

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男生直方圖

分組（百元）

男生人數(shù)

頻率

合計

女生莖葉圖

（1）請完成頻率分布表的三個空格，并估計該校男生網(wǎng)購金額的中位數(shù)（單位：元，精確到個位）.

（2）若網(wǎng)購為全國人均消費的三倍以上稱為“剁手黨”，估計該校大一學(xué)生中的“剁手黨”人數(shù)為多少？從抽樣數(shù)據(jù)中網(wǎng)購不足元的同學(xué)中隨機抽取人發(fā)放紀(jì)念品，則人都是女生的概率為多少？

（3）用頻率估計概率，從全市所有高校大一學(xué)生中隨機調(diào)查人，求其中“剁手黨”人數(shù)的分布列和期望.

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