Question

【題目】在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=10，d=3．令bn= ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1+a3=10，d=3，得

，

解得a1=2，

所以an=2+3（n﹣1）=3n﹣1（n∈N+）

（2）解：由（1）知，an=3n﹣1．

所以bn= = = = （ ﹣ ），

∴Tn= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ）=

（3）解：假設(shè)否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，

由（2）知，T1= ，Tm= ，Tn= ，

因?yàn)門1，Tm，Tn成等比數(shù)列，

所以（ ）2= × ，即 = ，

整理，得

n（﹣3m2+6m+2）=5m2．（*）

①當(dāng)m=2時(shí)，（*）式可化為2n=20，所以n=10．

②當(dāng)m≥3時(shí)，﹣3m2+6m+2=﹣3（m﹣1）2+5≤﹣7＜0．

又因?yàn)?m2＞0，

所以（*）式可化為n= ＜0，

所以此時(shí)n無(wú)正整數(shù)解．

綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)m，n，此時(shí)m=2，n=10

【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得首項(xiàng)a1的值，則易求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用拆項(xiàng)法求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，則易求Tn；（3）假設(shè)否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到 = ，從而求得符合條件的m、n的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．