Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣lnx+ax（a∈R）．

（1）當(dāng)a＝﹣e+1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)a≥﹣1時，求證：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增（2）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）求導(dǎo)得到判斷h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，，使函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，代入計算得到證明.

（1）f（x）＝ex﹣lnx+（﹣e+1）x；令，得x＝1；

當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

（2）證明：當(dāng)a＝﹣1時，f（x）＝ex﹣lnx﹣x（x＞0）；

令，則；

∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

又，h（1）＝e﹣2＞0；

∴，使得，即；

∴函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增；

∴函數(shù)f（x）的最小值為；

又函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)；

∴f（x0）＞1+1﹣ln1﹣1＝1＞0，即ex﹣lnx﹣x＞0恒成立；

又ex＞x＞lnx；∴ex﹣lnx＞0；又a≥﹣1，x＞0；∴ax≥﹣x；

∴f（x）＝ex﹣lnx+ax≥ex﹣lnx﹣x＞0，得證．