已知橢圓數(shù)學公式上任一點P到兩個焦點的距離的和為數(shù)學公式,P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為數(shù)學公式.設直線l過橢圓C的右焦點F,交橢圓C于兩點A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若數(shù)學公式(O為坐標原點),求|y1-y2|的值;
(Ⅱ)當直線l與兩坐標軸都不垂直時,在x軸上是否總存在點Q,使得直線QA、QB的傾斜  角互為補角?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ)由橢圓的定義知a=,又,∴b2=2,c2=a2-b2=1.
∴橢圓P(x0,y0)的方程是
,∴,
,
,
,故|y1-y2|=4.
(Ⅱ)假設存在一點Q(m,0),使得直線QA、QB的傾斜角互為補角,
依題意可知直線l、QA、QB斜率存在且不為零.
設直線l的方程為y=k(x-1)代入橢圓的方程消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2)則
∵直線QA、QB的傾斜角互為補角,
∴kQA+kQB=0,∴
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+x2)=0,
,
化為2m-6=0,解得m=3,
∴存在Q(3,0)使得直線QA、QB的傾斜角互為補角.
分析:(I)由橢圓的定義可知:a=;由P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為,可得,即可得到a,b2
(II)假設存在一點Q(m,0),使得直線QA、QB的傾斜角互為補角,設直線l的方程為y=k(x-1)代入橢圓的方程消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,得到根與系數(shù)的關系;由直線QA、QB的傾斜角互為補角,可得kQA+kQB=0,利用斜率計算公式得出,把根與系數(shù)的關系代入解出即可.
點評:熟練掌握橢圓的定義、橢圓上一點P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為、直線QA、QB的傾斜角互為補角?kQA+kQB=0、直線與橢圓的方程相交問題轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,A為橢圓短軸的一個頂點,且△AF1F2是直角三角形,橢圓上任一點P到左焦點F1的距離的最大值為
2
+1

(1)求橢圓C的方程;
(2)與兩坐標軸都不垂直的直線l:y=kx+m(m>0)交橢圓C于E,F(xiàn)兩點,且以線段EF為直徑的圓恒過坐標原點,當△OEF面積的最大值時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•杭州二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a  b  0)
上任一點P到兩個焦點的距離的和為2
3
,P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為-
2
3
.設直線l過橢圓C的右焦點F,交橢圓C于兩點A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若
OA
OB
=
4
tan∠AOB
(O為坐標原點),求|y1-y2|的值;
(Ⅱ)當直線l與兩坐標軸都不垂直時,在x軸上是否總存在點Q,使得直線QA、QB的傾斜   角互為補角?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:黑龍江省哈爾濱市第六中學2011屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題(理工類) 題型:044

已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,A為橢圓短軸的一個頂點,且是直角三角形,橢圓上任一點P到左焦點F1的距離的最大值為

(1)求橢圓C的方程;

(2)與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓C于E,F(xiàn)兩點,且以線段EF為直徑的圓恒過坐標原點,當△OEF面積的最大值時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年黑龍江省哈爾濱六中高考數(shù)學一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,A為橢圓短軸的一個頂點,且△AF1F2是直角三角形,橢圓上任一點P到左焦點F1的距離的最大值為
(1)求橢圓C的方程;
(2)與兩坐標軸都不垂直的直線l:y=kx+m(m>0)交橢圓C于E,F(xiàn)兩點,且以線段EF為直徑的圓恒過坐標原點,當△OEF面積的最大值時,求直線l的方程.

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