Question

已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且△AF₁F₂是直角三角形，橢圓上任一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F₁的距離的最大值為
（1）求橢圓C的方程；
（2）與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l：y=kx+m（m＞0）交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且以線段EF為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△OEF面積的最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，b=c，，，，解方程求出a、b、c的值，即得橢圓的方程．
 （2）把直線方程代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及，即x₁x₂+y₁y₂=0，求得
，代入△OEF的面積公式換元后使用基本不等式可得面積S的最大值及此時的m、k的值．
解答：解：（1）由題意得，b=c，，，
∴，則b=1． 所以，橢圓的方程為．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），，
聯(lián)立得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，∴△=8（2k²+1-m²）＞0，，
又以線段EF為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，，
即x₁x₂+y₁y₂=0，代入得   ，
△OEF的面積=，
設(shè)t=1+2k²＞1，則 ，
當(dāng)t=2，即時，面積S取得最大值，
此時，m=1，所以，直線方程為．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用．