【題目】已知函數(shù)f（x）=a（lnx2）1在定義域（0，2）內有兩個極值點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設x1和x2是f（x）的兩個極值點，求證：lnx1+lnx2+lna0.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導可得，記g（x）=ex﹣1﹣ax，通過分類討論得到函數(shù)單調性，分和兩種情況進行討論，即可得解；

（2）根據(jù)題意，將證明lnx1+lnx2+lna0，轉化為證x1+x22+lna，即證x11﹣lnx2，結合（1）問轉化成h（x）=lnx+e1﹣x，求導利用單調性即可證明.

（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，2），，記g（x）=ex﹣1﹣ax，則g′（x）=ex﹣1﹣a，

①當時，g′（x）0，

故g（x）在（0，2）上單增，則g（x）至多有一個零點，不合題意；

②當時，令g′（x）=0得x=1+lna，

（i）當1+lna<2且g（2）0，即時，

g（x）在（0，1+lna）上單減，在（1+lna，2）上單增，

此時需g（x）min=g（1+lna）=﹣alna<0，解得a1，

注意到g（0）0，

故由零點存在性定理可知，g（x）在（0，1+lna）及（1+lna，2）上各有一個零點；

（ii）當1+lna2，即ae時，g（x）在（0，2）上單減，則g（x）至多有一個零點，不合題意；

綜上，實數(shù)a的取值范圍為；

（2）證明：不妨設0<x1<1+lna<x2<2，

由題意得，，兩邊同時取自然對數(shù)得，

要證lnx1+lnx2+lna0，只需證x1+x22+lna，即證x11﹣lnx2，

由上題可知，g（x）在（0，1+lna）上單減，則證明g（1﹣lnx2）g（x1）=0即可，

有，化簡后即證明即可，

構造函數(shù)h（x）=lnx+e1﹣x，x∈（1+lna，2），則，注意到不等式ex﹣1x（x0），

則h′（x）0在（1+lna，2）恒成立，

即h（xh（1+lna）h（1）=1，故求證成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災難，面對新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對位居民是否患有新冠肺炎疾病進行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務室進行口拭子核酸檢測，檢測結果成陽性者，再到醫(yī)院做進一步檢查，己知隨機一人其口拭子核酸檢測結果成陽性的概率為%，且每個人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨立.

（1）假設該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為%，設這位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；

（2）根據(jù)經(jīng)驗，口拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進行檢測，若結果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個進行檢測，現(xiàn)有兩個分組方案：

方案一：將位居民分成組，每組人；

方案二：將位居民分成組，每組人；

試分析哪一個方案的工作量更少？

（參考數(shù)據(jù)：，）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P在C上，若PF⊥x軸，且△POF（O為坐標原點）的面積為1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若C上的兩動點A，B（A，B在x軸異側）滿足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4，θ∈R}，B={（x，y）|3x+4y﹣19=0}.記集合P=A∩B，則集合P所表示的軌跡的長度為( )

A.8B.8C.8D.8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中美組織的暑假中學生交流會結束時，中方組織者將孫悟空、豬八戒、沙和尚、唐三藏、白龍馬的彩色陶俑各一個送給來中國參觀的美國中學生湯姆、杰克、索菲婭，每個人至少一個，且豬八戒的彩色陶俑不能送給索菲婭，則不同的送法種數(shù)為_____.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“未來肯定是非接觸的，無感支付的方式將成為主流，這有助于降低交互門檻”.云從科技聯(lián)合創(chuàng)始人姚志強告訴南方日報記者.相對于主流支付方式二維碼支付，刷臉支付更加便利，以前出門一部手機解決所有，而現(xiàn)在連手機都不需要了，畢竟，手機支付還需要攜帶手機，打開二維碼也需要時間和手機信號.刷臉支付將會替代手機，成為新的支付方式.某地從大型超市門口隨機抽取50名顧客進行了調查，得到了如下列聯(lián)表：

男性

女性

總計

刷臉支付

18

25

非刷臉支付

13

總計

50

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有95%的把握認為使用刷臉支付與性別有關？

（2）從參加調查且使用刷臉支付的顧客中隨機抽取2人參加抽獎活動，抽獎活動規(guī)則如下：

“一等獎”中獎概率為0.25，獎品為10元購物券張（，且），“二等獎”中獎概率0.25，獎品為10元購物券兩張，“三等獎”中獎概率0.5，獎品為10元購物券一張，每位顧客是否中獎相互獨立，記參與抽獎的兩位顧客中獎購物券金額總和為元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.869

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：

①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；

②點是函數(shù)的一個對稱中心；

③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為．

其中所有正確的判斷是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.②

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點，且，求直線的傾斜角.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年1月，教育部《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》印發(fā)，自2020年起，在部分高校開展基礎學科招生改革試點（也稱“強基計劃”）.強基計劃聚焦高端芯片與軟件智能科技新材料先進制造和國家安全等關鍵領域以及國家人才緊缺的人文社會科學領域，選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生.新材料產業(yè)是重要的戰(zhàn)略性新興產業(yè)，下圖是我國2011-2019年中國新材料產業(yè)市場規(guī)模及增長趨勢圖.其中柱狀圖表示新材料產業(yè)市場規(guī)模（單位：萬億元），折線圖表示新材料產業(yè)市場規(guī)模年增長率（）.

（1）求2015年至2019年這5年的新材料產業(yè)市場規(guī)模的平均數(shù)；

（2）從2012年至2019年中隨機挑選一年，求該年新材料產業(yè)市場規(guī)模較上一年的年增加量不少于6000億元的概率；

（3）由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年的新材料產業(yè)市場規(guī)模年增長率的方差最大.（結論不要求證明）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案