如圖，已知橢圓E：
x2
8
+
y2
4
=1焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=4，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（1）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，求k1•k2的值；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出斜率，利用P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，即可求得k1•k2的值；
（2）設(shè)出直線AB，CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得相應(yīng)弦長(zhǎng)，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得λ=
|AB|+|CD|
|AB|•|CD|
=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
2
8
，從而問(wèn)題得解．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），x≠±2，那么k1=
y
x+2
，k2=
y
x-2

∴k1k2=
y
x+2
×
y
x-2
=
y2
x2-4

∵P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)
∴x2-y2=4，
∴y2=x2-4，
∴k1k2=1
（2）設(shè)直線AB：y=k1（x+2），k1≠0
由方程組
y=k1(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
得(2k12+1)x2+8k12x+8k12-8=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
則x1+x2=
-8k12
2k12+1
，x1x2=
8k12-8
2k12+1

由弦長(zhǎng)公式得|AB|=
1+k12
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k12)
2k12+1

同理設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=
1+k22
(x3+x4)2-4x3x4
=
4
2
(1+k22)
2k22+1

由（1）k1•k2=1得，k2=
1
k1
，代入得|CD|═
4
2
(1+k12)
k12+2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ=
|AB|+|CD|
|AB|•|CD|
=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
2
8

則存在λ=
3
2
8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，綜合性強(qiáng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，E的左頂點(diǎn)為A、上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在橢圓上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2
3
．
精英家教網(wǎng)
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)C，D是橢圓E上兩不同點(diǎn)，CD∥AB，直線CD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寧波二模）如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率是
2
2
，P1、P2是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（P2位于P1右側(cè)），點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對(duì)稱；
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年安徽省宿州市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過(guò)x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè),過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問(wèn)M,F,Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆吉林省高二期中考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)、在x軸上，離心率

（1）求橢圓E的方程；

（2）求的角平分線所在直線的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E：的離心率是，P1、P2是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（P2位于P1右側(cè)），點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對(duì)稱；
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

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