如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,E的左頂點(diǎn)為A、上頂點(diǎn)為B,點(diǎn)P在橢圓上,且△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2
3

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(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)C,D是橢圓E上兩不同點(diǎn),CD∥AB,直線CD與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn),且
MC
CN
,
MD
DN
,求λ+μ
的取值范圍.
分析:(I)由題意知:
2a+2c=4+2
3
e=
c
a
=
3
2
,由此能求出橢圓方程.
(II)由A(-2,0),B(0,1),知kAB=
1
2
.由CD∥AB,設(shè)直線CD的方程為y=
1
2
x+m
,由已知,得M(-2m,0),N(0,m),設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),由
x2
4
+y2=1
y=
1
2
x+m
,得x2+2mx+2m2-2=0,再由根的判別式和韋達(dá)定理知λ=-1-
2m
x1
,同理,μ=-1-
2m
x2
,由此能求出λ+μ∈(-∞,-2]∪(2,+∞).
解答:解:(I)由題意知:
2a+2c=4+2
3
e=
c
a
=
3
2
,
∴a2=4,b2=1,
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1

(II)∵A(-2,0),B(0,1),∴kAB=
1
2

由CD∥AB,設(shè)直線CD的方程為y=
1
2
x+m

由已知,得M(-2m,0),N(0,m),
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
x2
4
+y2=1
y=
1
2
x+m
,得x2+2mx+2m2-2=0,
△=(2m)2-4(2m2-2)>0,∴m2<2,
∴x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,
MC
CN,
得(x1+2m,y1)=λ(-x1,m-y1),
∴x1+2m=-λx1,即λ=-1-
2m
x1

同理,由
MD
DN
,得μ=-1-
2m
x2
,
λ+μ=-2-2m(
1
x1
+
1
x2
)
=-2-2m×
x1+x2
x1x2
=-2+
2m2
m2-1
=
2
m2-1
,
由m2<2,得
2
m2-1
∈(-∞,-2]∪(2,+∞)

∴λ+μ∈(-∞,-2]∪(2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•寧波二模)如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的離心率是
2
2
,P1、P2是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)(P2位于P1右側(cè)),點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn).點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn),且滿足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2

(Ⅰ) 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn),連結(jié)AF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C,連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D.
①求證:B、C關(guān)于x軸對(duì)稱;
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年安徽省宿州市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O,其右焦點(diǎn)為F(20),過(guò)x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),的最大值為.

()求橢圓E的方程;

()設(shè),過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問(wèn)M,F,Q是否共線,若共線請(qǐng)證明;反之說(shuō)明理由.

 

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(1)求橢圓E的方程;

(2)求的角平分線所在直線的方程.

 

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如圖,已知橢圓E:的離心率是,P1、P2是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)(P2位于P1右側(cè)),點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn).點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn),且滿足
(Ⅰ) 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn),連結(jié)AF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C,連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D.
①求證:B、C關(guān)于x軸對(duì)稱;
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí),求直線l的方程.

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