Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-10

【解析】

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，根據(jù)它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，得到，又，由此求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）設(shè)，，，直線l的方程為，代入方程，得，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出的值.

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，

拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為

則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即，

由，解得，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）證明：∵橢圓C的方程為，

∴橢圓C的右焦點(diǎn)

設(shè)，，，由題意知直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為，代入方程，

并整理，得，

∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，，

∴.