Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)B，且有，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6時(shí)，為正三角形.

（1）求C的方程；

（2）若直線，且和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D，證明：直線AD過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的值；

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，利用直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，可求出定點(diǎn)．

（1）

可得其焦點(diǎn)為：，

設(shè)，則FB的中點(diǎn)為，

，由拋物線的定義知，

解得或（舍去）

由，解得，

C的方程為：.

（2）由（1）知.設(shè)，，，，

，

則，

由得，故，

可得直線l的斜率.

設(shè)，

由題知為C在D處的切線，D點(diǎn)坐標(biāo)滿足：，，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知的斜率，

故，，（此處也可設(shè)的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，然后由得到D點(diǎn)坐標(biāo)）.

，

故直線AD的方程為：.

由，得，

直線AD過(guò)定點(diǎn).