Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點是的中點.

（1）求證：平面；

（2）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；

（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，可用表示出點坐標(biāo)；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.

（1）連接交于點，連接，

四邊形為平行四邊形，為中點，又為中點，，

平面，平面，平面；

（2）平面，，兩兩互相垂直，

則以為坐標(biāo)原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，，

設(shè)，且，

則，，即，

設(shè)平面的法向量，又，，

則，令，則，，；

設(shè)平面的一個法向量，又，，

則，令，則，，；

，解得：或，

二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，

不滿足題意，舍去，即.

在線段上存在點，時，二面角的余弦值為.