已知橢圓C：( )的離心率為，點(1，)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的兩條切線交于點M(4，)，其中，切點分別是A、B，試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓上的點()處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點；
（3）試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請說明理由.
（1） ；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）由離心率為，點(1，)在橢圓C，根據(jù)橢圓方程的等量關(guān)系即可求出的值，即得到橢圓方程.
（2）由橢圓切線方程是，又因為切點分別為A，B.所以帶入A，B兩點的坐標(biāo)，即可得到兩條切線方程，又因為這兩條切線過點M，代入點M的坐標(biāo)，即可得經(jīng)過A，B的直線方程，根據(jù)右焦點的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.
（3）由（2）可得直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，兩點的距離公式表達出，通過運算即可得到結(jié)論.
（1）設(shè)橢圓C的方程為()
①
點(1，)在橢圓C上，②，
由①②得：
橢圓C的方程為，         4分
（2）設(shè)切點坐標(biāo)，，則切線方程分別為，.
又兩條切線交于點M(4，)，即，
即點A、B的坐標(biāo)都適合方程，顯然對任意實數(shù)，點(1，0)都適合這個方程，
故直線AB恒過橢圓的右焦點.            7分
（3）將直線的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以，       10分
不妨設(shè)，，
同理
所以==
所以的值恒為常數(shù).       13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（12分）（2011•重慶）如圖，橢圓的中心為原點0，離心率e=，一條準(zhǔn)線的方程是x=2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動點P滿足：=+2，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為﹣，
問：是否存在定點F，使得|PF|與點P到直線l：x=2的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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（2011•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=﹣3于點D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標(biāo)原點）的面積為，則=                .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，若，則= _____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為直線上的一點，若△為等邊三角形，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知直線： 和橢圓，橢圓C的離心率為，連結(jié)橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)時，設(shè)直線與y軸的交點為P，M為橢圓C上的動點，求線段PM長度的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，以弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，過F1的直線L與橢圓相交于A，B兩點，|AB|＝，直線L的斜率為1，則b的值為（　　）
A．B．C．D．

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