Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為直線上的一點(diǎn)，若△為等邊三角形，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）直線的方程為，或.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率列出方程組，解出a和b，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，由于直線與橢圓交于A，B，則直線與橢圓方程聯(lián)立消參得到關(guān)于x的方程，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，得到，，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出的長(zhǎng)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出|MP|的長(zhǎng)，利用為正三角形，則，列出等式求出k的值，從而得到直線的方程.
（1）依題意有，．
可得，．
故橢圓方程為．                  ５分
（2）直線的方程為．
聯(lián)立方程組
消去并整理得．　　　
設(shè)，．
故，．
則．
設(shè)的中點(diǎn)為．
可得，．
直線的斜率為，又 ，
所以．
當(dāng)△為正三角形時(shí)，，
可得，
解得．         
即直線的方程為，或．            13分